|
3. Сплайновые кривые и поверхности. Порядок кривых. Вес точек |
Scroll |
Сплайновые кривые и поверхности, построенные с использованием неоднородных рациональных В-сплайнов (NURBS), определяются следующими параметрами: набором точек, называемых полюсами, и порядком.
При построении кривой полюсы можно указывать произвольно, а для создания поверхности набор полюсов должен представлять собой сетку, построенную по параметрической области поверхности (см. раздел Параметрическое представление поверхности. Изопараметрические кривые Приложения Кривые и поверхности), т.е. полюсы должны быть расположены рядами с одинаковым количеством полюсов в каждом. Изопараметрические кривые будущей поверхности пройдут вдоль этих рядов.
Очевидно, что форма сплайновой кривой или поверхности определяется расположением полюсов в пространстве. Поверхности, построенные по полюсам, обладают весьма полезным для моделирования свойством локальной деформации: при изменении положения одного полюса меняется форма только части поверхности вблизи этого полюса, а не вся поверхность.
Порядок сплайна в случае кривой равен числу, которое на единицу больше максимальной степени полиномов, описывающих участки этой кривой.
Количество полюсов может быть больше или равно порядку, но не меньше порядка. Порядок не может быть меньше 2. Частные случаи сплайновых кривых приведены на рисунке.
|
|
|
а) |
б) |
в) |
Частные случаи сплайновых кривых
а) линейная кривая (количество полюсов — 2, порядок — 2, степень полинома — 1),
б) коническая кривая (количество полюсов — 3, порядок — 3, степень полинома — 2),
в) кубическая кривая (количество полюсов — 4, порядок — 4, степень полинома — 3)
При построении сплайновой поверхности необходимо указать два значения, определяющих порядок по каждому из ее направлений: U и V. Заданный порядок будут иметь изопараметрические кривые соответствующих направлений.
|
Увеличение порядка сплайна до значений больше 6 на практике редко используется в связи с тем, что это значительно усложнит (и, следовательно, замедлит) вычисления при операциях с кривыми и поверхностями. |
Дополнительным параметром, влияющим на форму сплайновой кривой или поверхности, является вес каждого полюса. Геометрический смысл этого параметра следующий: чем больше вес полюса, тем ближе к нему расположена кривая (поверхность), т.е. полюсы с большим весом «притягивают» сплайн сильнее, чем полюсы с маленьким весом.
Например, на рисунке ниже показано, как меняется форма кривой при увеличении веса одного из полюсов. Положение I кривой соответствует случаю, когда все полюсы имеют единичный вес, положение II — случаю, когда полюс 4 имеет вес 2, а положение III — случаю, когда он имеет вес 6.
|
Влияние веса полюса на форму кривой
|
Форму кривой определяют не абсолютные веса полюсов, а разница между ними, т.е. при изменении весов всех полюсов в одно и то же число раз вид кривой не изменится. |
